3.3. Полевое уравнение движения

Как бы ни была увлекательна поднятая выше тема, нам следует вернуться к более «земным» вопросам. А именно к полевому уравнению движения. Ведь несмотря на все сложности и тайны вихрей и турбулентностей нам надо как-то определить величину H, даже несмотря на отсутствие понимания (а может и существования) еще одного фундаментального принципа поведения полевой среды.

И сделать мы это можем только вернувшись к нашему идейному пониманию динамики полевой среды. Мы говорили о том, что изменение плотности полевой среды ∂W/∂t в некой области пространства согласно принципу непрерывности полностью компенсируется ее потоком в соседние области. Это истечение, в свою очередь, и определяет скорость частицы u, находящейся в этой области пространства согласно использованному выше уравнению:

Данное уравнение означает, что все изменения в полевой среде определяют только ту компоненту скорости частицы u_II, которая параллельна направлению градиента плотности среды в данный момент времени. Таким образом, изменение другой компоненты скорости частицы u_⊥, перпендикулярной направлению градиента плотности, никак не зависит от динамики полевой среды в данный момент времени. Среда просто не влияет на частицу в направлении, перпендикулярном градиенту плотности! Все влияние происходит только в направлении градиента. Подобным образом река несет плот только в направлении течения воды, но не перпендикулярно ему.

Другими словами, если выражение u · ∇W = ∇ · (Wu) полностью определяется передаваемым через полевую среду влиянием других частиц, то выражение (∇W) × u = ∇ × (Wu), напротив, не должно зависеть от движения других частиц. Оно может меняться только под действием внутренних процессов самой полевой среды, хотя мы и не знаем их характер. Проще говоря, можно представить ротор ∇ × (Wu) в виду функции, зависящей только от той или иной области среды r, но не зависящей от положения другой частицы R, или в нашей терминологии зависящей от t :

Мы не знаем вид функции Y(r), которая как раз и должна определять все сложные вихревые движения в полевой среде, и как следствие, во всех материальных средах. Изучение ее вида является важной и интересной задачей, позволяющей нащупать ответы на вопросы, поднятые чуть выше. Тем не менее, сейчас мы можем получить полевое уравнение движения только на основании того обстоятельства, что функция Y не зависит от времени, то есть она не связана с движением второй частицы, а выражает собой только внутренние процессы в полевой среде. Пока мы хотим описать движение частиц используя понимание динамики полевой среды только в их непосредственной близости, вид функции Y(r) будет нам не важен.

Третий принцип динамики полевой среды (принцип турбулентности)

Возмущения полевой среды, связанные с взаимодействием частиц, изменяют скорости их движения только в направлении градиента плотности полевой среды. Изменения скоростей частиц в направлении, перпендикулярном градиенту плотности полевой среды, могут быть связаны только с внутренней динамикой самой полевой среды или начальными условиями.

С философской точки зрения этот принцип напоминает классический закон сохранения момента импульса при движении и вращении объектов. В то время как принцип непрерывности полевой среды созвучен закону сохранения энергии, о чем мы в свое время упоминали. Вообще говоря, эти два закона представляют собой интегралы уравнения движения и являются альтернативным способом его описания. В нашей терминологии один из этих принципов определяет дивергенцию произведения Wu, а другой – ее ротор. Как мы увидим позже, сохранение энергии и сохранение момента количества движения в полевой физике также тесно связаны с уравнением движения.

Мы можем взять частную производную по времени от написанного выше выражения (3.3.2):

Решение этого уравнения означает, что величина, стоящая под оператором ротора, есть градиент некой скалярной функции χ:

Сравнивая это уравнение с полученным ранее выражением (3.1.7):

мы понимаем, что они согласуются при условии:

Это приводит нас к полевому уравнению движения:

Полученное уравнение описывает движение частицы со скоростью u в полевой среде, которая характеризуется функцией плотности W = W(r, t) . Нам осталось сделать еще один шаг, а именно – от общей плотности полевой среды W(r, t) перейти к плотности полевой среды в точке исследуемой частицы W′(R) :

Эта функция W′ уже перестает быть плотностью полевой среды как таковой. Ее физический смысл сводится к описанию величины связи двух частиц в полевой среде, находящихся на расстоянии R друг от друга.

Полная производная этой функции W′ равна частной производной по времени от функции плотности W :

Чтобы в полученном нами уравнении движения (3.3.8) перейти от функции W к функции W′, перепишем его в более удобном виде, путем раскрытия производной произведения:

Теперь мы можем заменить:

Замена приводит нас к окончательному виду уравнения движения:

Это и есть полевое уравнение движения. Его физический смысл состоит в описании ускорения частицы, движущейся в полевой среде, которая в этом случае характеризуется упрощенной функцией полевой связи частиц W′ = W′(R) . Пока в этом уравнении нет больше ничего – ни масс, ни зарядов, ни сил. Оно описывает только зависимость между изменением полевой связи частиц и изменением их относительной скорости.

Вид функции связи W′(R) можно найти из волнового уравнения, которому также удовлетворяет функция W′(R) как частный случай функции W(r, t) . Только для функции W′(R) выполняется условие ∂W′/∂t = 0 и, следовательно:

А это уравнение, как известно, имеет решение:

которое зависит только от относительного расстояния между частицами.

Как мы уже догадались, функция полевой связи двух частиц имеет смысл потенциальной энергии их взаимодействия или скалярного потенциала. Мы можем использовать оба этих понятия, потому что они отличаются друг от друга только на величину заряда q рассматриваемой частицы. Волновое уравнение и полевое уравнение движения линейны, а следовательно, они допускают умножение W′ на постоянный коэффициент, в результате чего мы можем интерпретировать функцию полевой связи W′ и как потенциал φ , и как потенциальную энергию W_p = qφ . В предыдущей главе мы рассматривали движение отдельной частицы, в результате чего функция плотности полевой среды соответствовала скалярному потенциалу (соотношение 2.7.18). В этой главе мы введем заряды и будем интерпретировать функцию полевой связи как потенциальную энергию. В этом смысле использование терминов потенциал или потенциальная энергия логически равнозначно.

Полученное нами уравнение движения в равной степени применимо как к электрической компоненте полевой среды, так и к гравитационной, хотя мы пока и не использовали никаких зарядов или констант. Но чтобы сделать полученные результаты похожими на известные классические формулы, мы можем написать для электрического поля:

где q и Q – электрические заряды взаимодействующих частиц, φ_e – электрический потенциал, а электрическая константа принята равной единице. Для гравитационного поля выражение для функции связи – потенциальной энергии – будет выглядеть так:

где q_g и Q_g – гравитационные заряды (гравитационные массы) частиц, φ_g – гравитационный потенциал, а G – гравитационная константа.

В этом смысле функция полевой связи частиц является своеобразным симбиозом функций плотности полевой среды и интенсивности источника, которые мы использовали в прошлой главе. Теперь они обе фактически вошли в функцию полевой связи. Плотность в виде зависимости от расстояния, а интенсивность – в виде зарядов. Причем если раньше функция интенсивности источника описывала только один заряд, то теперь она соответствует их произведению и характеризует единую полевую оболочку! Поэтому, хотя мы и не использовали ее в явном виде, как в прошлой главе, она вошла в функцию полевой связи частиц в виде константы произведения зарядов. В этом свете применительно к функции полевой связи частиц мы будем использовать как термин «плотность», так и термин «интенсивность», подразумевая под этим единый количественный показатель для сравнения разных полевых сред.

Сделанные выводы еще раз демонстрируют концепцию полевой природы зарядов. Взаимодействие двух частиц определяется не отдельными зарядами, а только их произведением. Мы можем приписать одной частице заряд в k раз меньший, а другой — в k раз больший, и ничего не изменится! Именно произведение зарядов является величиной, определяющей интенсивность единой полевой среды, окружающей обе частицы.